Qualcosa di interessan… TRE!
Si fa presto a dire tre, inteso come base 3. Volevo la dimostrazione, dell'unicità o meno. Calma!
Al solito, mi si è sbloccato più di un ricordo. Uno recente, dell'anno scorso più o meno, durante la stesura dell'#ADPbook2024. L'articoletto in questione era quello in cui parlavo di un dispositivo meccanico in grado di effettuare i calcoli in base 3 e con l'occasione notavo - per caso - come alcuni numeri periodici in base 10 non lo sono in base 3 e viceversa. Era solo un esempio al volo, e quindi… parentesi chiusa, nel libercolo di cui sopra.
L'altro ricordo è assai più datato. Parliamo di una quarantina abbondante d'anni fa, ai tempi della mia amata rubrica Appunti di informatica su MC. Bene, mi pento e mi dolgo con tutto il cuore… del fatto di non aver mai approfondito, in quel periodo, l'argomento basi numeriche, dando fin troppo erroneamente per scontato che la base 2, e di riflesso quella esadecimale, fossero più che sufficienti per la narrativa in quegli anni e in quelle pagine.
In sintesi, questioni AI e altre modernità a parte (in questo caso di supporto, ma non indispensabili) state per leggere l'articolo che non ho mai scritto in quella rubrica, di cui particolarmente vado fiero - qui lo dico e qui lo confermo! - più di qualsiasi altra cosa mia su MC. Inutile dire che lì l'avrei approfondito molto di più ma quelli, si sa, erano altri tempi!
Qualche giorno fa…
La colpa - o per meglio dire il merito - è del post qui mostrato, visto passare nel mio feed FB qualche giorno fa. Ovviamente chi ha una minima infarinatura di esadecimale (e un minimo di intelligenza, nel senso etimologico del termine) capisce al volo che si tratta dello stesso valore, espresso rispettivamente in base 16 e in base 10. Più interessante la seconda parte del post - le IA non indovinano - cosa che non mi stupisce più di tanto. Infatti alle AI manca proprio il valore etimologico dell'intelligenza, ovvero il saper "leggere dentro". E spesso, in forza di questo, sparano grosse minchiate… :-)))
Così ho deciso di fare lo stesso giochetto anch'io, con una versione leggermente più complicata, nella speranza di accendergli qualche lampadina in più, cosa non successa. La domanda l'ho rivolta sia a Gemini che a ChatGPT, con risultati piuttosto simili e deludenti, nonostante la seconda l'avevo "avvisata" di non soffermarsi su accomunanze banali.
Come dicevo, Gemini, al quale avevo inviato la domanda secca, l'ha sparata grossa (la banalità) rispondendomi che erano entrambi numeri razionali. Ma dai?!? Se aggiungeva anche che erano positivi avremmo rasentato la perfezzzione!
Viceversa, a gipitìSIGNÒ...
... come dicevo, ho mollato un suggerimento ulteriore, per scongiurare ovvietà, ma non è che sia andata tanto meglio. Per dirla alla Emmett Brown si sarebbe meritato un bel «è che non pensi multi-BASIonalmente!», cosa che ho suggerito al secondo passaggio, dicendogli: non sono nella stessa base.
Ci ha pensato ben 18 secondi… e ha fornito la soluzione, tirando fuori (correttamente) la base 3. Infatti rappresentano lo stesso valore numerico rispettivamente nelle due basi. Ma non era qui che lo volevo. La mia domanda in fondo era un'altra, e non gliel'avevo ancora mollata: vale solo per la coppia di basi 3 e 10 o, come immaginavo (ma serviva la dimostrazione, non la sua/mia opinione) ci sono infinite soluzioni?
Ci ha pensato un'altra trentina di secondi… aggiungendo però una condizione non contemplata dalle mie domande: che una delle due basi fosse quella normale, la 10. Eh, no, non stavano così le cose. Rimessolo in carreggiata - marò, che pazienza che ce vò! - siamo arrivati alla risposta che volevo e alla altrettanto richiesta dimostrazione. In poche righe e pochi secondi: basta poco, no?
Ha esordito, per farsi perdonare, con un «Bella precisazione — ottima osservazione. Allora facciamo la cosa giusta e non fissiamo nessuna base: cerchiamo tutte le coppie di basi intere positive tali che 0,1 in base a sia uguale a 0,3 in base b».
La risposta, quella definitiva
Il resto è davvero molto semplice, ve lo lascio nello screenshot preso dalla chat. In pratica uguaglia (banalmente) le due formule che "sviluppano" rispettivamente il risultato di 0,1 in base a e 0,3 in base b. La seconda ovviamente è il risultato di una sommatoria che dà come risultato 3/(b-1). In sintesi:
1/a = 3/(b-1)
per la quale b = 3a+1. Che, ovviamente, rappresenta gli infiniti risultati possibili. Così l'uguaglianza di partenza:
0,1 = 0,3
vale anche, giusto per fare un paio di esempi tra gli infiniti, per il primo valore in base 2 e il secondo in base 7, ma anche per il primo in base 10 e il secondo in base 31. Come da b = 3a+1 prima citato.
Tombola!
AdP
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TRIT, CHI ERA COSTUI?
(tratto dall'#ADPbook2024)
Dicesi trit il corrispondente del bit quando passiamo all’aritmetica ternaria. In altre parole, un numero in base 3 è esprimibile in trit, così come un numero binario è formato da bit. Immagino esistano anche i Ktrit, Mtrit, Gtrit, ecc., ma comincio ad avere il sospetto che stiamo perdendo tempo appresso a questi dettagli lessicali del tutto secondari che continuo a sfornare.
Le analogie con il mondo binario (e di conseguenza con tutti gli altri, decimale compreso) non sono poche, alcune però più interessanti/simpatiche di altre. Ad esempio con i numeri periodici come 1/3 (0.33333333… e simili) che, in base 3, diventa banalmente 0.1 (non periodico). 
Nessuna magia o particolare superpotere della base 3, perché lo stesso (in senso peggiorativo per la rappresentazione) accade al contrario per altri numeri. Ad esempio un semplice 1/8, che in decimale è 0.125 e in binario semplicemente 0.001, in base 3 diventa periodico, con un infinito:
0.010101010101010101010101...
Un’altra sottile differenza (pratica) tra binario e ternario riguarda la questione pari-dispari, che nei primi è facilmente riconoscibile dalla cifra meno significativa: 0 pari, 1 dispari. Nel caso dei numeri in base 3, anche questi facilmente distinguibili, la caratteristica è meno evidente a colpo d’occhio. Basta però contare gli 1 per avere risposta: se sono in quantità pari è pari anche il numero e viceversa. Questo perché le potenze di 3 sono (ovviamente) tutte dispari e se sommiamo un quantitativo pari di numeri dispari otteniamo un totale indubbiamente pari. Ah però!
